Optimización de carteras: lo que las matemáticas pueden decidir, y lo que no

Las matemáticas necesitan una pregunta

La optimización de carteras busca los pesos que mejor cumplen un objetivo matemático concreto respetando unas restricciones. El objetivo puede referirse a una medida estimada de riesgo; las restricciones definen qué combinaciones están permitidas. El resultado responde a esa pregunta formal. No puede decidir si la pregunta recoge todo lo que importa a una persona o institución.

Aquí el objetivo es la mínima varianza, es decir, minimizar la dispersión de las rentabilidades de la cartera estimada por el modelo. La volatilidad es la raíz cuadrada de la varianza. Ninguna de las dos medidas describe todos los riesgos: liquidez, pérdida permanente, relaciones cambiantes y acontecimientos extremos pueden requerir un análisis aparte. Llamar a una cartera de mínima varianza solo tiene sentido en relación con sus variables y restricciones.

Se utilizan dos activos ficticios, A y B. Los pesos deben ser no negativos y sumar uno: el modelo solo admite posiciones compradoras, invierte todo el capital y no incluye endeudamiento ni la alternativa de mantener efectivo. Se supone correlación cero entre las rentabilidades de ambos activos. La correlación cero elimina el término de covarianza en este cálculo; no significa que los activos sean independientes ni que no puedan caer juntos.

Una respuesta precisa puede depender de variables inciertas

El modelo reduce el peso de A porque ahora tiene una varianza estimada mayor. No sabe nada de la calidad de las empresas, las rentabilidades futuras o las circunstancias de un inversor. Las rentabilidades esperadas no entran en este objetivo concreto, por lo que el resultado no respalda la afirmación de que la cartera revisada ofrece una rentabilidad mejor.

La volatilidad mínima revisada es mayor que antes aunque los pesos se adapten. Es coherente: cambiar una variable cambia el propio problema. Los nuevos pesos minimizan la función de varianza revisada entre las combinaciones permitidas; no restauran la antigua estimación de riesgo ni prueban que el riesgo realizado coincidirá con alguna de las dos estimaciones.

El material de matemáticas de carteras de CVX explica pesos, covarianza y modelos de media–varianza con restricciones. Nuestro ejemplo utiliza el objetivo más limitado de mínima varianza y un cálculo de forma cerrada con dos activos. No hace falta un programa de resolución para seguirlo. Otros objetivos o restricciones definirían otros problemas de optimización y podrían producir pesos diferentes.

Lo que queda fuera del cálculo

La volatilidad y la correlación se estiman; no son propiedades fijas. Distintas muestras, periodos de medición y condiciones de mercado cambiantes pueden modificarlas. Suponer correlación cero es especialmente restrictivo: un movimiento conjunto positivo elevaría en general la varianza de una combinación dada de pesos positivos respecto a este ejemplo. La optimización no puede eliminar la incertidumbre de las variables calculando más decimales.

Se omiten los costes de negociación, los impuestos, los límites de liquidez y las restricciones sobre posiciones concretas. También se omiten las previsiones de rentabilidad y las pérdidas que la varianza no resume de forma útil. Una solución matemáticamente factible puede, por tanto, resultar poco práctica o inadecuada fuera del modelo. El objetivo educativo es identificar esas omisiones y examinar la sensibilidad, no tratar la cifra calculada más baja como una decisión completa.