Matemáticas 03 Entender las matemáticas de la inversión

Delta: exposición direccional

Interpretar la pendiente local del valor de una opción frente al precio del subyacente.

Comprender las opciones y sus sensibilidadesAvanzado

Ilustración; otros datos constantes

En palabras sencillas

La idea central

Delta es la sensibilidad de primer orden del valor de una opción al precio del subyacente. Describe qué ocurre con la opción si el precio de la acción cambia un poco y las demás variables del modelo permanecen constantes.

Una opción de compra suele tener delta positiva porque un precio del subyacente más alto hace más valioso el derecho a comprar. Una opción de venta suele tener delta negativa porque un precio del subyacente más alto reduce el valor del derecho a vender.

Delta es local. Es una medida para un precio, precio de ejercicio, tiempo, tipo de interés y volatilidad concretos. Puede cambiar cuando se mueve el subyacente, razón por la que existe gamma.

En una posición compradora en una opción de compra, un precio del subyacente más alto suele elevar el valor bajo el modelo indicado; en una posición compradora en una opción de venta, lo reduce. Delta recoge la pendiente local de esa relación. Se mide como cambio del valor de la opción por unidad de cambio del subyacente, no como rentabilidad porcentual sobre la prima.

La tangente de la ilustración muestra esa pendiente local en un punto de una curva creciente y convexa de valor de una opción de compra. Es geometría cualitativa, no un precio de opción calibrado ni una previsión.

Ejemplo desarrollado

Leer delta sin atribuirle más de lo que dice

Si una opción de compra tiene una delta cercana a 0,60, una pequeña subida de una libra del subyacente se asocia con una subida aproximada de 0,60 libras en el precio de la opción, antes de considerar otros efectos.

Para un contrato hipotético con un multiplicador de 100 unidades del subyacente, esa exposición de primer orden es de unas 60 £ por una variación de 1 £. Es necesario comprobar los multiplicadores reales de cada contrato.

Esto solo estima movimientos pequeños. Si el subyacente se mueve mucho, gamma, la volatilidad y el tiempo pueden modificar el resultado.

Tomando la delta supuesta de 0,60 como sensibilidad por unidad y manteniendo constantes volatilidad, tipos y tiempo, una subida de 0,50 £ del subyacente da una estimación de primer orden de 0,30 £ por unidad de opción: 0,60 multiplicado por 0,50 £. Una caída de 0,50 £ da aproximadamente −0,30 £ con la misma sensibilidad inicial.

Solo para ilustrar el contrato, se supone un multiplicador de 100 unidades del subyacente. La estimación de 0,30 £ pasa a ser de 30 £ por contrato. Este multiplicador es hipotético y no debe darse por válido para todos los mercados, contratos u opciones ajustadas.

Delta de la opción de compra	0,60
Pequeño movimiento del subyacente	+1 libra
Movimiento de primer orden de la opción	Unas +0,60 libras
Ejemplo de multiplicador del contrato	Unas +60 libras para 100 acciones

Interpretar el resultado

Por qué la tangente solo es local

La curva de valor de una opción no suele ser una línea recta. Tras un movimiento del subyacente, la pendiente puede diferir de la delta inicial. Gamma mide ese cambio de delta. Multiplicar la delta inicial por una variación grande del precio ignora la curvatura y puede dar una estimación poco precisa.

Delta también es distinta de la probabilidad de una operación rentable. En el modelo europeo de Black–Scholes sin dividendos, la delta de una opción de compra es N(d1), mientras que N(d2) es la probabilidad neutral al riesgo de vencer dentro del dinero. Ninguna de las dos es una tasa de éxito medida en el mundo real, y estar dentro del dinero no establece un beneficio después de la prima y los costes.

Límites y supuestos

Las convenciones detrás de la fórmula

La derivación opcional supone un precio del subyacente, precio de ejercicio, volatilidad y tiempo hasta el vencimiento positivos; un subyacente sin dividendos; volatilidad y tipo de interés sin riesgo con capitalización continua constantes; y ejercicio solo al vencimiento. El tiempo se mide en años y la volatilidad como decimal anualizado. Las fórmulas no se aplican directamente al vencimiento ni con volatilidad cero.

Con variables del modelo idénticas, la delta de la opción de venta es la delta de la opción de compra menos uno. Estos valores corresponden a posiciones compradoras en opciones; una posición vendedora invierte el signo de la exposición. Los dividendos, el ejercicio anticipado y otros modelos de valoración cambian el cálculo. La idea central sigue siendo una sensibilidad local con sus demás variables y unidades especificadas.

Error frecuente

Tratar delta como una probabilidad fija

Delta se usa a veces como atajo para aproximar una probabilidad en algunas opciones fuera del dinero, pero no es una frecuencia predictiva medida.

La interpretación más prudente es la de sensibilidad. Delta informa sobre la exposición a un pequeño movimiento del subyacente bajo los supuestos del modelo.

Una delta de 0,60 no significa que la opción gane un 60 % cuando la acción gana un 1 %. La derivada es una pendiente en unidad monetaria por unidad monetaria; las rentabilidades porcentuales también dependen de los precios del subyacente y de la opción.

Resumen de fórmulas

Delta de Black–Scholes sin dividendos

Ejercicio solo al vencimiento, sin dividendos y con S, K, sigma y T positivos; el tiempo T se expresa en años, sigma como decimal anualizado y r como tipo anual con capitalización continua. El tipo de interés y la volatilidad son variables constantes del modelo; se excluyen los saltos de precio y las fricciones de negociación. Estas expresiones no deben aplicarse directamente al vencimiento ni con volatilidad cero.

N es la función de distribución acumulada de la normal estándar; n es su densidad. Las fórmulas describen valores del modelo para posiciones compradoras en opciones; el signo de las posiciones cambia la exposición.

Precio de la opción de compra

C = S N (d_{1}) - K e^{- r T} N (d_{2})

$C$: Valor teórico de la opción de compra.
$S$: Precio actual del subyacente.
$K$: Precio de ejercicio.
$r$: Tipo de interés sin riesgo con capitalización continua según esta convención del modelo.
$T$: Tiempo hasta el vencimiento en años.

Es un precio del modelo, no una previsión ni una recomendación.

Variables estandarizadas

\begin{matrix} d_{1} = \frac{\ln (S / K) + (r + 0.5 σ^{2}) T}{σ \sqrt{T}} \\ d_{2} = d_{1} - σ \sqrt{T} \end{matrix}

$σ$: Supuesto de volatilidad, expresado como decimal anualizado.
$N$: Función de distribución acumulada de la normal estándar.
$n$: Densidad de la normal estándar.

delta

\begin{matrix} Δ_{call} = N (d_{1}) \\ Δ_{put} = N (d_{1}) - 1 \end{matrix}

Derivación opcional Explorar la derivación

La siguiente derivación muestra por qué los términos adicionales que aparecen al derivar se cancelan bajo la convención de Black–Scholes sin dividendos.

01

Derivar el precio de la opción de compra respecto de S

El precio de la opción de compra contiene S en el primer término y dentro de d1 y d2, de modo que intervienen tanto la regla del producto como la regla de la cadena.

Precio de la opción de compra derivado

$\frac{\partial C}{\partial S} = N (d_{1}) + S n (d_{1}) \frac{\partial d_{1}}{\partial S} - K e^{- r T} n (d_{2}) \frac{\partial d_{2}}{\partial S}$
02

Usar la derivada común de d1 y d2 respecto de S

d1 y d2 cambian en la misma cantidad cuando cambia S, porque d2 es igual a d1 menos un término que no contiene S.

Derivada común

$\frac{\partial d_{1}}{\partial S} = \frac{\partial d_{2}}{\partial S} = \frac{1}{S σ \sqrt{T}}$
03

Usar la identidad de las densidades

Bajo esta convención, los dos términos de densidad son versiones escaladas entre sí. Esto hace que se cancelen los dos términos de la regla de la cadena.

Identidad de cancelación

$S n (d_{1}) = K e^{- r T} n (d_{2})$
04

Interpretar el resultado

Tras la cancelación, la delta de la opción de compra es N(d1). La delta de la opción de venta se obtiene de la paridad entre opciones de compra y de venta: derivar C menos P equivale a derivar S menos el precio de ejercicio descontado.

Resultado de delta

$\begin{matrix} Δ_{call} = N (d_{1}) \\ Δ_{put} = N (d_{1}) - 1 \end{matrix}$

Autoevaluación

Comprobar la comprensión

¿Cuál es el efecto de primer orden por unidad de una subida de 0,50 £ con delta de 0,60?

Aproximadamente +0,30 £, con las demás variables constantes. Con el multiplicador de 100 unidades supuesto explícitamente, son +30 £ por contrato antes de costes.

¿Por qué la misma delta puede resultar imprecisa para un movimiento mayor?

La pendiente de la curva cambia. Gamma y las variaciones de otras variables pueden modificar delta, por lo que prolongar demasiado la tangente inicial puede representar mal el cambio de valor.

¿Es la delta de una opción de compra la probabilidad de una operación rentable?

No. Es una sensibilidad. Incluso la probabilidad neutral al riesgo separada del modelo de terminar dentro del dinero no es una probabilidad real de beneficio después de la prima y los costes.

Contexto de aprendizaje

Qué ayuda a entender esta idea

Delta ayuda a separar la exposición direccional de las muchas otras razones por las que puede cambiar la prima de una opción.

Aviso

Solo para fines educativos

Este artículo tiene fines exclusivamente informativos y educativos. Las opciones implican riesgos y no son adecuadas para todos los inversores. Nada de lo aquí expuesto constituye una recomendación de comprar, vender, emitir o negociar una opción.

Ruta

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Términos

Delta: cambio local del valor de una opción por unidad de variación del precio del subyacente.Gamma: cambio de delta por unidad de variación del precio del subyacente.Probabilidad neutral al riesgo: probabilidad bajo la medida de valoración del modelo.Multiplicador del contrato: cantidad contractual utilizada para convertir los importes por unidad a la escala del contrato.