Rhô : la sensibilité aux taux d’intérêt

La démonstration compacte part du prix de l’option d’achat, utilise la même identité des densités, puis obtient le rhô de l’option de vente par la parité achat–vente.

1. 01

   Dériver le prix de l’option d’achat par rapport à r

   Le taux apparaît dans d1 et d2, ainsi que dans le prix d’exercice actualisé.

   $$\frac{\partial C}{\partial r}=Sn\left(d_1\right)\frac{\partial d_1}{\partial r}-K{e}^{-rT}n\left(d_2\right)\frac{\partial d_2}{\partial r}+KT{e}^{-rT}N\left(d_2\right)$$

   La dérivée du prix de l’option d’achat par rapport à r est égale à S multiplié par la densité normale en d1 et par la dérivée de d1 par rapport à r, moins le prix d’exercice multiplié par le facteur d’actualisation, par la densité normale en d2 et par la dérivée de d2 par rapport à r, plus le produit du prix d’exercice, de la durée jusqu’à l’échéance, du facteur d’actualisation et de la fonction de répartition normale en d2.

2. 02

   Utiliser la dérivée commune par rapport au taux

   d1 et d2 varient du même montant lorsque r change, car d2 est égal à d1 moins un terme qui ne contient pas r.

   $$\frac{\partial d_1}{\partial r}=\frac{\partial d_2}{\partial r}=\frac{\sqrt{T}}{\sigma }$$

   La dérivée de d1 par rapport à r est égale à celle de d2 par rapport à r, soit la racine carrée de T divisée par sigma.

3. 03

   Utiliser l’identité des densités

   Les termes de densité multipliés par leurs facteurs s’annulent, laissant le terme issu de la dérivation du facteur d’actualisation.

   $$Sn\left(d_1\right)=K{e}^{-rT}n\left(d_2\right)$$

   S multiplié par la densité normale en d1 est égal au prix d’exercice multiplié par le facteur d’actualisation et par la densité normale en d2.

4. 04

   Interpréter le résultat et convertir les unités

   Le rhô de l’option de vente découle de la parité achat–vente. Le résultat brut s’exprime par 1,00 de variation du taux ; une cotation par point le divise donc par 100.

   $$\begin{array}{c}{\rho }_{\text{call}}=KT{e}^{-rT}N\left(d_2\right)\\ {\rho }_{\text{put}}=-KT{e}^{-rT}N(-d_2)\\ {\rho }_{\text{point}}={\rho }_{\text{raw}}/100\end{array}$$

   Le rhô de l’option d’achat est égal au produit du prix d’exercice, de la durée jusqu’à l’échéance, du facteur d’actualisation et de la fonction de répartition normale en d2. Le rhô de l’option de vente est égal à l’opposé du même produit utilisant la fonction de répartition normale en moins d2. Le rhô par point est égal au rhô brut divisé par cent.