Matemáticas 07 Entender las matemáticas de la inversión

Rho: sensibilidad a los tipos de interés

Interpretar la sensibilidad a los tipos de interés sin perder de vista las unidades.

Comprender las opciones y sus sensibilidadesAvanzado

Opciones europeas; otros datos fijos

En palabras sencillas

La idea central

Rho mide cómo cambia el valor de una opción cuando cambia la variable del tipo de interés del modelo, con las demás variables constantes.

El efecto de un cambio de tipos depende del vencimiento y de las demás variables del contrato. Para compararlo con los efectos de precio, volatilidad o tiempo, primero hay que especificar un cambio para cada uno y convertirlos en contribuciones al valor.

La derivada de Black–Scholes sin convertir se mide por 1,00 de tipo decimal. Un punto porcentual es 0,01, por lo que la cotización por punto es la sensibilidad sin convertir dividida por 100. La unidad de la derivada no es una gran variación de tipos propuesta.

Rho mide la sensibilidad a la variable del tipo sin riesgo del modelo de valoración. No mide el efecto completo de un anuncio de un banco central, que también puede cambiar el precio del subyacente, la volatilidad y las expectativas sobre varios tipos futuros.

La derivada usa aquí un tipo anual con capitalización continua expresado en decimales. Una plataforma puede cotizar el resultado por punto porcentual, por lo que una cifra aislada de rho está incompleta sin sus unidades y el sentido de la posición.

Ejemplo desarrollado

Leer la unidad del tipo de interés

Supongamos que rho sin convertir de una opción de compra es 20,00. Una subida del tipo de un punto porcentual es 0,01 en decimales.

El efecto de primer orden es, por tanto, aproximadamente 0,20, antes de considerar otros efectos. Una plataforma puede mostrar la misma sensibilidad como 0,20 por punto del tipo de interés.

Esto no significa que los tipos vayan a subir. Solo traduce la sensibilidad del valor de la opción a la variable de tipos del modelo.

Tomemos una rho hipotética sin convertir de 20 £ por unidad de opción de compra por cada variación de 1,00 del tipo decimal. Un pequeño incremento de la variable de tipos del 3 % al 3,1 % es 0,001, por lo que la contribución local al valor es de unas 0,02 £. Un cambio de un punto porcentual del 3 % al 4 % es 0,01 y da una estimación de primer orden de 0,20 £.

Son cálculos de sensibilidad con las demás variables constantes, no predicciones sobre tipos de interés o precios de opciones. El cambio mayor puede tener más error de aproximación porque rho cambia cuando cambia la variable de tipos.

Rho de la opción de compra sin convertir	20 libras por 1,00 de tipo decimal
Pequeña variación del tipo	Del 3 % al 3,1 %, o +0,001
Estimación de valor para el cambio pequeño	Unas +0,02 libras por unidad
Rho de la opción de compra por punto	0,20 libras por punto porcentual

Interpretar el resultado

Por qué difieren las opciones de compra y de venta

En el modelo europeo sin dividendos, el precio de ejercicio se paga o recibe al vencimiento si se ejerce la opción. Descontar ese importe futuro ayuda a explicar por qué un tipo más alto aumenta el valor del modelo de una posición compradora en una opción de compra y reduce el de una posición compradora en una opción de venta, con las demás variables constantes.

Los signos se refieren a posiciones compradoras en opciones. Una posición vendedora invierte su exposición, y una cartera combina las sensibilidades con signo de sus posiciones. Rho sin convertir no debe compararse directamente con theta diaria o vega por punto: primero hay que convertir cada una en contribución al valor con un cambio definido y un tamaño de posición coherente.

Límites y supuestos

Una sola variable de tipos simplifica un problema más amplio

Un único tipo constante representa el supuesto de financiación del modelo. Las curvas de descuento reales pueden variar con el vencimiento, y los mercados reales pueden incluir dividendos, diferenciales de financiación y condiciones contractuales distintas. La expresión sencilla también supone precio del subyacente, precio de ejercicio, volatilidad y tiempo positivos, ejercicio solo al vencimiento y ausencia de dividendos; el tiempo se expresa en años.

Una sensibilidad por 1,00 de tipo decimal no invita a hacer una previsión lineal para un salto de 100 puntos porcentuales. Es la unidad de la derivada. Un movimiento del banco central también puede diferir del tipo de mercado del vencimiento pertinente, por lo que introducir un anuncio de política monetaria en el modelo sin explicarlo puede tergiversar el escenario que se pretende estudiar.

Error frecuente

Comparar unidades sin convertir y unidades por punto

Un error frecuente es comparar una fuente que da rho sin convertir con otra que la da por punto porcentual. Las cifras diferirán por un factor de 100.

Otro error es considerar rho siempre irrelevante. Puede ser modesta para algunas opciones de corto plazo, pero la sensibilidad a tipos cobra más importancia cuando se alarga el tiempo hasta el vencimiento.

La conversión de unidades debe escribirse antes del resultado. Multiplicar rho sin convertir por «1» cuando se pretende representar un punto porcentual hace que el resultado sea cien veces demasiado grande, aunque la aritmética parezca sencilla.

Resumen de fórmulas

Rho de Black–Scholes y cotización por punto del tipo de interés

Ejercicio solo al vencimiento, sin dividendos y con S, K, sigma y T positivos; el tiempo T se expresa en años, sigma como decimal anualizado y r como tipo anual con capitalización continua. El tipo de interés y la volatilidad son variables constantes del modelo; se excluyen los saltos de precio y las fricciones de negociación. Estas expresiones no deben aplicarse directamente al vencimiento ni con volatilidad cero.

N es la función de distribución acumulada de la normal estándar; n es su densidad. Las fórmulas describen valores del modelo para posiciones compradoras en opciones; el signo de las posiciones cambia la exposición.

Rho de la opción de compra

ρ_{call} = K T e^{- r T} N (d_{2})

$K$: Precio de ejercicio.
$T$: Tiempo hasta el vencimiento en años.
$r$: Tipo de interés sin riesgo con capitalización continua en esta convención.
$N (d_{2})$: Distribución acumulada de la normal estándar en d2.

Rho de la opción de venta

ρ_{put} = - K T e^{- r T} N (- d_{2})

Conversión de unidades

ρ_{point} = ρ_{raw} / 100

Una variación de un punto porcentual equivale a 0,01 en unidades decimales de tipos.

Derivación opcional Explorar la derivación

La derivación compacta parte del precio de la opción de compra, utiliza la misma identidad de densidades y obtiene rho de la opción de venta mediante la paridad entre opciones de compra y de venta.

01

Derivar el precio de la opción de compra respecto de r

El tipo aparece dentro de d1 y d2, y también en el término del precio de ejercicio descontado.

Derivada respecto del tipo

$\frac{\partial C}{\partial r} = S n (d_{1}) \frac{\partial d_{1}}{\partial r} - K e^{- r T} n (d_{2}) \frac{\partial d_{2}}{\partial r} + K T e^{- r T} N (d_{2})$
La derivada del precio de la opción de compra respecto de r es igual a S multiplicado por la densidad normal en d1 y por la derivada de d1 respecto de r, menos el precio de ejercicio multiplicado por el factor de descuento, por la densidad normal en d2 y por la derivada de d2 respecto de r, más el producto del precio de ejercicio, el tiempo hasta el vencimiento, el factor de descuento y la distribución normal acumulada en d2.
02

Usar la derivada común respecto del tipo

d1 y d2 cambian en la misma cantidad cuando cambia r, porque d2 es igual a d1 menos un término que no contiene r.

Derivada común

$\frac{\partial d_{1}}{\partial r} = \frac{\partial d_{2}}{\partial r} = \frac{\sqrt{T}}{σ}$
03

Usar la identidad de las densidades

Los términos de densidad escalados se cancelan y queda el término procedente de derivar el factor de descuento.

Identidad de cancelación

$S n (d_{1}) = K e^{- r T} n (d_{2})$
04

Interpretar el resultado y convertir las unidades

Rho de la opción de venta se obtiene de la paridad entre opciones de compra y de venta. El resultado sin convertir se expresa por un movimiento del tipo de 1,00, de modo que la cotización por punto se obtiene dividiendo la cifra por 100.

Resultado de rho

$\begin{matrix} ρ_{call} = K T e^{- r T} N (d_{2}) \\ ρ_{put} = - K T e^{- r T} N (- d_{2}) \\ ρ_{point} = ρ_{raw} / 100 \end{matrix}$
Rho de la opción de compra es igual al producto del precio de ejercicio, el tiempo hasta el vencimiento, el factor de descuento y la distribución normal acumulada en d2. Rho de la opción de venta es igual al negativo del producto del precio de ejercicio, el tiempo hasta el vencimiento, el factor de descuento y la distribución normal acumulada en menos d2. Rho por punto es igual a rho sin convertir dividida por cien.

Autoevaluación

Comprobar la comprensión

¿Cuál es el cambio del tipo decimal del 3 % al 3,1 %?

0,001, o una décima de punto porcentual. Con la rho sin convertir de 20 £ del ejemplo, la contribución de primer orden es de unas +0,02 £ por unidad de opción.

¿Por qué un cambio de un punto porcentual multiplica rho sin convertir por 0,01?

Los tipos se expresan en decimales en la derivada. Un punto porcentual es 0,01, de modo que una rho sin convertir de 20 corresponde a una sensibilidad por punto de 0,20.

¿Una rho positiva de la opción de compra significa que un anuncio de tipos debe elevar su precio de mercado?

No. El anuncio también puede afectar al subyacente, la volatilidad y otras variables. Rho aísla una variable del modelo manteniendo constantes las demás.

Contexto de aprendizaje

Qué ayuda a entender esta idea

Rho ayuda a entender por qué los supuestos sobre tipos importan más para algunos vencimientos de opciones que para otros.

Aviso

Solo para fines educativos

Este artículo tiene fines exclusivamente informativos y educativos. Las opciones implican riesgos y no son adecuadas para todos los inversores. Nada de lo aquí expuesto constituye una recomendación de comprar, vender, emitir o negociar una opción.

Ruta

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Términos

Rho: sensibilidad del valor a la variable del tipo de interés del modelo.Rho antes de convertir a puntos porcentuales: sensibilidad por una variación de 1,00 del tipo expresado en decimales.Punto porcentual del tipo de interés: un punto porcentual, o 0,01 en unidades decimales.Curva de descuento: factores de descuento para distintos vencimientos.

La idea central

Leer la unidad del tipo de interés

Por qué difieren las opciones de compra y de venta

Una sola variable de tipos simplifica un problema más amplio

Comparar unidades sin convertir y unidades por punto

Rho de Black–Scholes y cotización por punto del tipo de interés

Derivar el precio de la opción de compra respecto de r

Usar la derivada común respecto del tipo

Usar la identidad de las densidades

Interpretar el resultado y convertir las unidades

Comprobar la comprensión

Qué ayuda a entender esta idea

Solo para fines educativos