Maths 05 Comprendre les maths de l’investissement

Vega : la sensibilité à la volatilité

Traduisez les variations de volatilité en une estimation locale de la valeur d’une option.

Comprendre les options et leurs sensibilitésAvancé

Option vanille achetée ; autres données fixes

En termes simples

L’idée essentielle

Le vega mesure comment la valeur d’une option change lorsque la volatilité implicite varie. Il isole le paramètre de volatilité en maintenant les autres paramètres du modèle constants.

Dans le modèle européen sans dividendes, une volatilité plus élevée accroît la valeur des positions acheteuses sur les options d’achat et de vente grâce au profil convexe de valeur à l’échéance. Il s’agit d’une relation de valeur, pas d’une hausse universelle de la probabilité de terminer dans la monnaie.

Par convention de marché, le vega est généralement coté par point de volatilité, tandis que la dérivée de Black–Scholes s’exprime naturellement par 1,00 de volatilité. Cette différence d’unité compte.

La volatilité implicite est le paramètre de volatilité qui permet à un modèle de valorisation choisi de reproduire un prix d’option donné. Elle n’est pas une observation directe de la volatilité future, et des prix d’exercice ou échéances différents peuvent impliquer des valeurs différentes. Le vega décrit comment la valeur de modèle change pour une petite variation de ce paramètre, à autres paramètres constants.

La dérivée brute utilise la volatilité en décimal. De nombreuses plateformes cotent plutôt une variation de valeur par point de pourcentage de volatilité ; il faut donc vérifier l’unité avant toute multiplication.

Exemple détaillé

Lire l’unité de volatilité

Supposons qu’une plateforme affiche un vega de 0,08 par point de volatilité. Si la volatilité implicite passe de 20 % à 21 %, la valeur de l’option devrait augmenter d’environ 0,08 avant prise en compte des autres effets.

Dans la convention du calcul différentiel brut, la même sensibilité est de 8,00 par 1,00 de volatilité, car un point de pourcentage vaut 0,01.

Cela ne signifie pas que la volatilité va monter. Cela indique seulement la sensibilité locale du modèle à ce paramètre.

Dans la cotation hypothétique, le vega est de 0,08 £ par unité d’option et par point de pourcentage de volatilité. Passer de 20 % à 21 % représente un point de pourcentage, soit 0,01 en unités décimales de volatilité. L’effet de premier ordre sur la valeur est donc d’environ +0,08 £, à autres paramètres constants.

Pour un mouvement d’un demi-point de pourcentage, de 20 % à 20,5 %, l’estimation est de +0,04 £. Une hausse relative de 1 % à partir de 20 % donnerait en revanche 20,2 %, soit un mouvement de 0,2 point de pourcentage, produisant environ +0,016 £. Ces résultats diffèrent parce que les variations supposées diffèrent, et non parce que les modèles sont différents.

Vega de la plateforme	0,08 par point de volatilité
Variation de volatilité implicite	De 20 % à 21 %
Variation de premier ordre de l’option	Environ +0,08
Unité de la dérivée brute	Environ 8,00 par 1,00 de volatilité

Interpréter le résultat

Incertitude et profils convexes de valeur à l’échéance

Une position acheteuse sur une option classique a un profil convexe de valeur à l’échéance : les issues défavorables ne créent pas d’obligation d’exercice pour le détenteur, tandis que les issues favorables peuvent ajouter de la valeur. Sous les hypothèses de Black–Scholes indiquées, accroître la volatilité augmente la valeur des positions acheteuses sur les options d’achat et de vente. Cela n’augmente pas nécessairement la probabilité de terminer dans la monnaie dans toutes les situations initiales.

Pour les mêmes prix d’exercice, échéance et autres paramètres, l’option d’achat et l’option de vente du modèle ont le même vega. C’est une propriété des prix du modèle, pas l’affirmation que toutes les options d’achat et de vente du marché ont la même exposition à la volatilité. Des paramètres contractuels différents peuvent donner des sensibilités très différentes.

Limites et hypothèses

Une cotation doit préciser sa convention

La formule brute donne une variation de valeur par 1,00 de volatilité en décimal. La diviser par 100 donne la sensibilité par point de pourcentage. Dans cet exemple, un vega brut de 8 correspond à 0,08 par point ; 1,00 est l’unité de la dérivée, pas une variation proposée de 100 points de pourcentage à appliquer linéairement.

La démonstration suppose un prix du sous-jacent, un prix d’exercice, une volatilité et une durée strictement positifs, un exercice à l’échéance uniquement, l’absence de dividendes ainsi que des taux et une volatilité constants dans le modèle. Le temps est en années. Les surfaces réelles de volatilité implicite peuvent évoluer inégalement selon les prix d’exercice et les échéances : une variation parallèle unique de volatilité est donc une simplification. Les mouvements plus importants modifient aussi le vega lui-même.

Erreur fréquente

Confondre direction de volatilité et direction du prix

Le vega ne dit pas si le sous-jacent va monter ou baisser. Il indique que la valeur de l’option est sensible au prix que le marché attribue aux mouvements attendus.

Une option d’achat peut perdre de la valeur alors que le sous-jacent monte si la volatilité implicite baisse suffisamment et que d’autres effets dominent. Les sensibilités aident à distinguer ces forces.

Une option peut perdre de la valeur malgré un mouvement favorable du sous-jacent si d’autres contributions, dont une baisse de volatilité, l’emportent. Le vega aide à expliquer cette possibilité sans prévoir l’ampleur ou le sens des futurs changements de volatilité.

Résumé des formules

Vega de Black–Scholes et cotation de marché

Exercice à l’échéance uniquement, absence de dividendes et S, K, sigma et T strictement positifs ; le temps T est exprimé en années, sigma en décimal annualisé et r est un taux annuel à capitalisation continue. Le taux et la volatilité sont des paramètres constants du modèle ; les sauts de prix et les frictions de négociation sont exclus. N’appliquez pas directement ces expressions à l’échéance ou lorsque la volatilité est nulle.

N est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite ; n en est la densité. Les formules décrivent les valeurs de modèle de positions acheteuses sur les options ; le signe des positions modifie l’exposition.

vega

vega = S n (d_{1}) \sqrt{T}

$S$: Prix actuel du sous-jacent.
$n (d_{1})$: Densité normale centrée réduite en d1.
$T$: Durée jusqu’à l’échéance, en années.
$vega / 100$: Variation approximative de valeur pour un mouvement d’un point de pourcentage de volatilité.

Certains textes utilisent la lettre grecque nu pour le vega, mais les écrans d’options l’intitulent généralement Vega.

Démonstration facultative Explorer la démonstration

La démonstration compacte utilise la relation entre d1 et d2 pour éviter de développer chaque dérivée de d1.

01

Dériver le prix de l’option d’achat par rapport à la volatilité

Seuls d1 et d2 dépendent de la volatilité dans le prix de l’option d’achat sans dividendes.

Dérivée par rapport à la volatilité

$\frac{\partial C}{\partial σ} = S n (d_{1}) \frac{\partial d_{1}}{\partial σ} - K e^{- r T} n (d_{2}) \frac{\partial d_{2}}{\partial σ}$
02

Relier les deux dérivées de volatilité

Puisque d2 est égal à d1 moins sigma multiplié par la racine carrée de T, la dérivée de d2 par rapport à la volatilité est celle de d1 moins la racine carrée de T.

Relation de d2

$\frac{\partial d_{2}}{\partial σ} = \frac{\partial d_{1}}{\partial σ} - \sqrt{T}$
03

Utiliser la même identité des densités

La même identité que pour le delta permet de faire correspondre les termes de densité multipliés par leurs facteurs, ne laissant que le terme en racine carrée du temps.

Identité d’annulation

$S n (d_{1}) = K e^{- r T} n (d_{2})$
04

Interpréter le résultat et convertir les unités

La dérivée brute s’exprime par 1,00 de volatilité. Les écrans de marché montrent souvent le montant par point de pourcentage de variation, soit un centième de cette dérivée.

Résultat pour le vega

$\begin{matrix} {vega}_{raw} = S n (d_{1}) \sqrt{T} \\ {vega}_{point} = {vega}_{raw} / 100 \end{matrix}$

Autoévaluation

Vérifiez votre compréhension

Quelle variation de volatilité en décimal représente un passage de 20 % à 21 % ?

0,01, soit un point de pourcentage. C’est une hausse relative de 5 %, une autre manière de mesurer la même variation.

Quelle variation de valeur estime-t-on pour un passage de 20 % à 20,5 % avec un vega de 0,08 £ par point ?

Environ +0,04 £ par unité d’option, car la variation est d’un demi-point de pourcentage. L’estimation maintient les autres paramètres constants.

Pourquoi diviser le vega brut par 100 pour une cotation par point ?

La dérivée brute utilise une unité de volatilité décimale de 1,00. Un point de pourcentage vaut 0,01 de cette unité : sa contribution de premier ordre à la valeur est donc cent fois plus petite.

Contexte pédagogique

Ce que cette notion aide à comprendre

Le vega aide à comprendre pourquoi une option peut évoluer autour des publications de résultats, des événements de politique économique ou des tensions de marché, avant même que le sous-jacent ait beaucoup varié.

Avertissement

À des fins pédagogiques uniquement

Cet article est fourni uniquement à titre informatif et pédagogique. Les options comportent des risques et ne conviennent pas à tous les investisseurs. Rien ici ne constitue une recommandation d’acheter, de vendre, d’émettre ou de négocier une option.

Parcours

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Termes clés

Vega : sensibilité de la valeur au paramètre de volatilité.Volatilité implicite : paramètre de modèle déduit du prix d’une option.Point de pourcentage de volatilité : variation d’un point de pourcentage de la volatilité.Profil convexe de valeur à l’exercice ou à l’échéance : profil dont la pente ne diminue pas lorsque le sous-jacent monte.

L’idée essentielle

Lire l’unité de volatilité

Incertitude et profils convexes de valeur à l’échéance

Une cotation doit préciser sa convention

Confondre direction de volatilité et direction du prix

Vega de Black–Scholes et cotation de marché

Dériver le prix de l’option d’achat par rapport à la volatilité

Relier les deux dérivées de volatilité

Utiliser la même identité des densités

Interpréter le résultat et convertir les unités

Vérifiez votre compréhension

Ce que cette notion aide à comprendre

À des fins pédagogiques uniquement