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Mathematik 05 Anlagemathematik verständlich erklärt

Vega: Sensitivität gegenüber Volatilität

Übersetzen Sie Volatilitätsänderungen in eine lokale Schätzung des Optionswerts.

Optionen und ihre Sensitivitäten verstehenVertiefung
OptionswertImplizite VolatilitätVega = lokale Steigung
Vanilla-Optionskauf; übrige Eingaben fest
Einfach erklärt

Der Grundgedanke

Vega misst, wie sich der Optionswert verändert, wenn sich die implizite Volatilität ändert. Es isoliert die Volatilitätseingabe und hält die anderen Modelleingaben konstant.

Im europäischen Modell ohne Dividenden erhöht eine höhere Volatilität über das konvexe Auszahlungsprofil den Wert gekaufter Kauf- und Verkaufsoptionen. Dies ist ein Wertzusammenhang, kein allgemeiner Anstieg der Wahrscheinlichkeit, bei Fälligkeit im Geld zu liegen.

Vega wird nach Marktkonvention meist je Volatilitätsprozentpunkt angegeben, die Black–Scholes-Ableitung bezieht sich hingegen von Natur aus auf 1,00 Volatilität. Dieser Einheitenunterschied ist wichtig.

Implizite Volatilität ist die Volatilitätseingabe, bei der ein gewähltes Bewertungsmodell einen bestimmten Optionspreis reproduziert. Sie ist keine direkte Beobachtung der künftigen Volatilität. Unterschiedliche Ausübungspreise oder Fälligkeiten können unterschiedliche Werte implizieren. Vega fragt, wie sich der Modellwert bei einer kleinen Änderung dieser Eingabe verändert, während die anderen Eingaben fest bleiben.

Die nicht umgerechnete Ableitung verwendet Volatilität als Dezimalzahl. Viele Plattformen geben stattdessen die Wertveränderung je Prozentpunkt der Volatilität an. Vor jeder Multiplikation muss daher die Einheit geprüft werden.

Beispiel mit Erläuterung

Die Volatilitätseinheit lesen

Angenommen, eine Optionsplattform zeigt Vega von 0,08 je Volatilitätsprozentpunkt an. Steigt die implizite Volatilität von 20 % auf 21 %, dürfte der Optionswert vor anderen Effekten um etwa 0,08 steigen.

In der ursprünglichen Ableitungskonvention beträgt dieselbe Sensitivität 8,00 je 1,00 Volatilität, weil ein Prozentpunkt 0,01 entspricht.

Das bedeutet nicht, dass die Volatilität steigen wird. Es beschreibt nur die lokale Modellsensitivität gegenüber dieser Eingabe.

In der hypothetischen Angabe beträgt Vega 0,08 £ je Optionseinheit und je Prozentpunkt der Volatilität. Der Anstieg von 20 % auf 21 % ist ein Prozentpunkt oder 0,01 in dezimalen Volatilitätseinheiten. Der Werteffekt erster Ordnung beträgt daher bei sonst konstanten Eingaben ungefähr +0,08 £.

Bei einer Bewegung um einen halben Prozentpunkt von 20 % auf 20,5 % lautet die Schätzung +0,04 £. Ein relativer Anstieg um 1 % ausgehend von 20 % ergäbe dagegen 20,2 %, also eine Bewegung um 0,2 Prozentpunkte und etwa +0,016 £. Die unterschiedlichen Ergebnisse entstehen durch unterschiedliche Bewegungsgrößen, nicht durch unterschiedliche Modelle.

Vega der Plattform 0,08 je Volatilitätsprozentpunkt
Änderung der impliziten Volatilität 20 % auf 21 %
Optionsbewegung erster Ordnung Etwa +0,08
Einheit der ursprünglichen Ableitung Etwa 8,00 je 1,00 Volatilität
Das Ergebnis einordnen

Unsicherheit und konvexe Auszahlungen

Eine gekaufte Standardoption hat ein konvexes Auszahlungsprofil: Ungünstige Ergebnisse bei Fälligkeit begründen für den Inhaber keine Ausübungspflicht, während günstige Ergebnisse Wert hinzufügen können. Unter den angegebenen Black–Scholes-Annahmen erhöht mehr Volatilität den Wert gekaufter Kauf- und Verkaufsoptionen. Die Wahrscheinlichkeit, im Geld zu enden, muss dadurch aber nicht in jeder Ausgangssituation steigen.

Bei gleichem Ausübungspreis, gleicher Fälligkeit und gleichen übrigen Eingaben haben Kauf- und Verkaufsoption im Modell dasselbe Vega. Das ist eine Eigenschaft der Modellpreise und keine Aussage, dass alle Kauf- und Verkaufsoptionen am Markt dieselbe Volatilitätsabhängigkeit haben. Unterschiedliche Kontrakteingaben können sehr unterschiedliche Sensitivitäten erzeugen.

Grenzen und Annahmen

Eine Angabe braucht ihre Konvention

Die ursprüngliche Formel gibt die Wertveränderung je 1,00 dezimaler Volatilität an. Durch Division durch 100 erhält man die Sensitivität je Prozentpunkt. In diesem Beispiel entspricht ein nicht umgerechnetes Vega von 8 einem Wert von 0,08 je Punkt. 1,00 ist eine Ableitungseinheit, keine vorgeschlagene Veränderung um 100 Prozentpunkte, die linear anzuwenden wäre.

Die Herleitung setzt positive Werte für Basiswertpreis, Ausübungspreis, Volatilität und Zeit voraus, Ausübung nur bei Fälligkeit, keine Dividenden sowie konstanten Modellzins und konstante Volatilität. Die Zeit wird in Jahren angegeben. Reale Flächen impliziter Volatilität können sich über Ausübungspreise und Fälligkeiten ungleichmäßig bewegen. Eine einzige parallele Volatilitätsänderung ist deshalb eine Vereinfachung. Größere Änderungen verändern auch Vega selbst.

Häufiger Fehler

Volatilitätsrichtung mit Preisrichtung verwechseln

Vega sagt nicht, ob der Basiswertpreis steigen oder fallen wird. Es besagt, dass der Optionswert empfindlich auf die Marktbewertung erwarteter Bewegungen reagiert.

Eine Kaufoption kann an Wert verlieren, wenn der Basiswert steigt, sofern die implizite Volatilität stark genug fällt und andere Effekte überwiegen. Optionssensitivitäten helfen, diese Einflüsse auseinanderzuhalten.

Eine Option kann trotz einer günstigen Basiswertbewegung an Wert verlieren, wenn andere Beiträge, darunter ein Volatilitätsrückgang, stärker sind. Vega hilft, diese Möglichkeit zu erklären, ohne Größe oder Richtung künftiger Volatilitätsänderungen vorherzusagen.

Formelübersicht

Black–Scholes-Vega und Marktangaben

Ausübung nur bei Fälligkeit, keine Dividenden sowie positive S, K, sigma und T; die Zeit T wird in Jahren angegeben, sigma als annualisierte Dezimalzahl und r als stetig verzinster Jahreszinssatz. Zinssatz und Volatilität sind konstante Modelleingaben; Preissprünge und Handelsfriktionen werden ausgeschlossen. Wenden Sie diese Ausdrücke nicht unmittelbar bei Fälligkeit oder bei Volatilität null an.

N ist die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung; n ist ihre Dichte. Die Formeln beschreiben Modellwerte von Optionskaufpositionen; das Vorzeichen der Position verändert die Sensitivität.

Vega
Vega = S n(d1) T
S
Aktueller Basiswertpreis.
n(d1)
Standardnormaldichte an d1.
T
Restlaufzeit in Jahren.
Vega/100
Ungefähre Wertänderung je Veränderung der Volatilität um einen Prozentpunkt.

Einige Texte verwenden den griechischen Buchstaben nu für Vega, Optionsanzeigen verwenden jedoch meist die Bezeichnung Vega.

Optionale Herleitung Herleitung ansehen

Die kompakte Herleitung nutzt den Zusammenhang zwischen d1 und d2, ohne jede Ableitung von d1 vollständig auszuschreiben.

  1. 01

    Den Preis der Kaufoption nach der Volatilität ableiten

    Im Preis der Kaufoption ohne Dividenden hängen nur d1 und d2 von der Volatilität ab.

    Volatilitätsableitung
    ∂C∂σ = Sn(d1) ∂d1∂σ - Ke-rT n(d2) ∂d2∂σ
  2. 02

    Die beiden Volatilitätsableitungen verknüpfen

    Weil d2 gleich d1 minus sigma mal Quadratwurzel von T ist, ist die Volatilitätsableitung von d2 gleich der Ableitung von d1 minus der Quadratwurzel von T.

    Zusammenhang für d2
    ∂d2∂σ = ∂d1∂σ - T
  3. 03

    Dieselbe Dichteidentität verwenden

    Dieselbe Identität wie bei Delta lässt die skalierten Dichteterme übereinstimmen, sodass nur der Term mit der Quadratwurzel der Zeit übrig bleibt.

    Identität zur Aufhebung der Terme
    Sn(d1) = Ke-rT n(d2)
  4. 04

    Das Ergebnis einordnen und Einheiten umrechnen

    Die ursprüngliche Ableitung bezieht sich auf 1,00 Volatilität. Marktanzeigen zeigen häufig den Betrag je Veränderung um einen Prozentpunkt, also ein Hundertstel der ursprünglichen Ableitung.

    Ergebnis für Vega
    Vegaraw = Sn(d1)T Vegapoint = Vegaraw / 100
Selbsttest

Überprüfen Sie Ihr Verständnis

Welcher dezimalen Volatilitätsänderung entspricht ein Anstieg von 20 % auf 21 %?

0,01, also einem Prozentpunkt. Relativ ist das ein Anstieg um 5 %, eine andere Messweise derselben Veränderung.

Welche Wertänderung wird bei 0,08 £ Vega je Punkt für einen Anstieg von 20 % auf 20,5 % geschätzt?

Ungefähr +0,04 £ je Optionseinheit, weil die Veränderung einen halben Prozentpunkt beträgt. Die Schätzung hält die übrigen Eingaben konstant.

Warum wird das ursprüngliche Vega für eine Angabe je Punkt durch 100 geteilt?

Die ursprüngliche Ableitung verwendet eine dezimale Volatilitätseinheit von 1,00. Ein Prozentpunkt entspricht 0,01 dieser Einheit, sodass sein Wertbeitrag erster Ordnung ein Hundertstel beträgt.

Lernkontext

Wobei dieser Begriff hilft

Vega hilft zu verstehen, warum sich eine Option rund um Unternehmenszahlen, politische Ereignisse oder Marktstress bewegen kann, noch bevor sich der Basiswertpreis stark verändert hat.

Haftungshinweis

Nur zu Bildungszwecken

Dieser Artikel dient ausschließlich der Information und Bildung. Optionen sind mit Risiken verbunden und nicht für alle Anleger geeignet. Nichts hierin stellt eine Empfehlung dar, eine Option zu kaufen, zu verkaufen, als Stillhalter zu verkaufen oder zu handeln.