Verstehen Sie, warum sich das richtungsabhängige Exposure mit dem Basiswert verändert.
Optionen und ihre Sensitivitäten verstehenVertiefung
Illustration; andere Eingaben konstant
Einfach erklärt
Der Grundgedanke
Gamma misst, wie sich Delta verändert, wenn sich der Basiswertpreis ändert. Wenn Delta die Geschwindigkeit ist, beschreibt Gamma die Veränderung der Geschwindigkeit.
Ein hohes Gamma bedeutet, dass sich die Optionsabhängigkeit schnell ändern kann. Das ist häufig nahe am Ausübungspreis und kurz vor Fälligkeit wichtig: Eine kleine Bewegung des Basiswerts kann aus einer unwahrscheinlichen Endlage im Geld eine wahrscheinliche machen.
Gamma ist an sich weder gut noch schlecht. Es beschreibt, wie instabil die Abhängigkeit erster Ordnung sein kann.
Delta ist die Steigung des Optionswerts gegenüber dem Basiswertpreis. Gamma misst, wie sich diese Steigung bei einer Bewegung des Basiswerts verändert: Es ist die Krümmung des Wertzusammenhangs. Seine Einheit ist die Veränderung von Delta je Geldeinheit des Basiswerts. Es sollte daher nicht als eine weitere direkte Preissensitivität gelesen werden.
Bei identischen Eingaben haben gekaufte europäische Kauf- und Verkaufsoptionen im Black–Scholes-Modell ohne Dividenden dasselbe positive Gamma. Eine Verkaufsposition kehrt das Gamma-Vorzeichen der Position um.
Beispiel mit Erläuterung
Warum ein stabiles Delta nicht garantiert ist
Angenommen, eine Option hat ein Delta von 0,50 und ein hohes Gamma. Eine kleine Bewegung des Basiswerts kann Delta rasch in Richtung 0,60 oder 0,40 verschieben.
Wer nur auf das anfängliche Delta schaut, könnte unterschätzen, wie schnell die Position stärker richtungsabhängig wird.
Gamma erinnert daran, dass sich die Risikomessung selbst verändern kann.
Ergänzen wir das hypothetische Anfangsdelta von 0,50 um ein angenommenes Gamma von 0,04 je Pfund. Bei einem Anstieg des Basiswerts um 0,50 £ beträgt die lokale Delta-Veränderung ungefähr 0,04 × 0,50 = 0,02. Das aktualisierte Delta wird bei konstanten übrigen Eingaben daher auf 0,52 geschätzt.
Die entsprechende Schätzung zweiter Ordnung für die Veränderung des Optionswerts ist anders: 0,50 × 0,50 £ plus die Hälfte von 0,04 mal dem Quadrat von 0,50 £ ergibt 0,255 £ je Optionseinheit. Die zusätzlichen 0,005 £ sind der Krümmungsbeitrag in dieser illustrativen lokalen Entwicklung.
Anfängliches Delta
0,50
Gamma je Pfund
0,04
Bewegung des Basiswerts
+0,50 Pfund
Ungefähres neues Delta
0,52
Wertveränderung zweiter Ordnung
+0,255 Pfund je Einheit
Das Ergebnis einordnen
Die Krümmung wirkt in beide Richtungen
Das Quadrat der Preisbewegung im Wertterm zweiter Ordnung ist positiv, unabhängig davon, ob der Basiswert steigt oder fällt. Bei einer Optionskaufposition mit positivem Gamma liegt der Wert durch diesen Krümmungsbeitrag über der anfänglichen geraden Tangente. Dies beschreibt die Form der Modellwertkurve und bedeutet keinen garantierten Handelsgewinn.
Gamma kann eine zuvor geringe Richtungsabhängigkeit schnell verändern. Es hilft daher zu erklären, warum eine Position, die zuvor lokal ausgeglichen erschien, nach einer Preisbewegung eine andere Sensitivität haben kann. Die erneute Schätzung verändert die Messung; jede tatsächliche Anpassung unterliegt jedoch auch Kosten und Marktbeschränkungen.
Grenzen und Annahmen
Eine lokale Entwicklung ist keine vollständige Neubewertung
Das Beispiel verwendet das anfängliche Delta und Gamma sowie eine bewusst kleine Bewegung. Beide Sensitivitäten können sich während der Bewegung ändern. Gleichzeitige Volatilitäts- oder Zeitveränderungen führen zu Effekten, die die Rechnung auslässt. Eine vollständige Modellneubewertung und ein handelbarer Marktpreis sind ebenfalls verschiedene Dinge.
Die optionale Formel verlangt positive Werte für Preis, Ausübungspreis, annualisierte dezimale Volatilität und Zeit in Jahren. Sie setzt Ausübung nur bei Fälligkeit, keine Dividenden sowie konstante Modellzinsen und Volatilität voraus. Kurz vor Fälligkeit kann die Sensitivität um den Ausübungspreis sehr ausgeprägt werden. Pauschale Aussagen, Gamma steige bei Annäherung an die Fälligkeit überall, wären irreführend. Die Formel wird nicht unmittelbar bei Fälligkeit ausgewertet.
Häufiger Fehler
Gamma nur für Profis relevant halten
Gamma kann technisch wirken, doch die grundlegende Idee ist zugänglich. Es zeigt, ob das aktuell angezeigte Delta stabil bleiben oder sich stark verändern könnte.
Das ist für alle wichtig, die verstehen möchten, warum sich ein Optionspreis schneller bewegen kann, wenn der Basiswert sich dem Ausübungspreis nähert.
Gamma mal Preisbewegung schätzt eine Delta-Veränderung. Wer diese Größe als Preisveränderung behandelt, verliert eine Einheit und lässt den Faktor ein halb sowie die quadrierte Bewegung weg, die für die Wertnäherung zweiter Ordnung nötig sind.
Formelübersicht
Gamma aus dem Black–Scholes-Delta
Ausübung nur bei Fälligkeit, keine Dividenden sowie positive S, K, sigma und T; die Zeit T wird in Jahren angegeben, sigma als annualisierte Dezimalzahl und r als stetig verzinster Jahreszinssatz. Zinssatz und Volatilität sind konstante Modelleingaben; Preissprünge und Handelsfriktionen werden ausgeschlossen. Wenden Sie diese Ausdrücke nicht unmittelbar bei Fälligkeit oder bei Volatilität null an.
N ist die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung; n ist ihre Dichte. Die Formeln beschreiben Modellwerte von Optionskaufpositionen; das Vorzeichen der Position verändert die Sensitivität.
Gamma
Gamma ist gleich der Standardnormaldichte an d1 geteilt durch das Produkt aus S, sigma und der Quadratwurzel von T.
Sensitivität zweiter Ordnung des Optionswerts gegenüber dem Basiswertpreis.
Standardnormaldichte an d1.
Aktueller Basiswertpreis.
Angenommene annualisierte Volatilität.
Restlaufzeit in Jahren.
Der Ausdruck ist am größten, wenn n(d1) hoch und der Nenner klein ist.
Optionale HerleitungHerleitung ansehen
Die kürzeste übersichtliche Herleitung beginnt mit Delta und wendet anschließend die Kettenregel an.
01
Mit Delta beginnen
Für die Kaufoption ohne Dividenden ist Delta gleich N(d1). Das Delta der Verkaufsoption ist N(d1) minus 1.
Ausgangspunkt
Das Delta der Kaufoption ist gleich der Standardnormalverteilungsfunktion an d1.
02
Delta nach S ableiten
Die Ableitung von N(d1) ist n(d1) mal der Ableitung von d1.
Kettenregel
Gamma ist gleich der Ableitung von Delta nach S, also der Standardnormaldichte an d1 mal der Ableitung von d1 nach S.
03
Die Ableitung von d1 einsetzen
Innerhalb von d1 ändert sich nur ln(S/K) mit S. Daraus ergibt sich der kompakte Nenner.
Ableitung der Eingabe
Die Ableitung von d1 nach S ist gleich eins geteilt durch das Produkt aus S, sigma und der Quadratwurzel von T.
04
Das Ergebnis einordnen
Das Gamma von Kauf- und Verkaufsoption stimmt überein, weil sich ihre Deltas nur um die Konstante 1 unterscheiden.
Ergebnis für Gamma
Das Gamma der Kaufoption ist gleich dem Gamma der Verkaufsoption, gleich der Standardnormaldichte an d1 geteilt durch das Produkt aus S, sigma und der Quadratwurzel von T.
Selbsttest
Überprüfen Sie Ihr Verständnis
Wie hoch ist das aktualisierte geschätzte Delta im Beispiel?
0,52: Anfangsdelta 0,50 plus Gamma von 0,04 je Pfund mal der Bewegung von 0,50 £. Dies ist eine lokale Schätzung bei konstanten übrigen Eingaben.
Warum beträgt der Krümmungsbeitrag zum Preis 0,005 £ statt 0,02 £?
Eine Taylorentwicklung des Optionswerts verwendet den Term ein halb × Gamma × Quadrat der Basiswertbewegung. Gamma × Bewegung schätzt dagegen eine Delta-Veränderung, deren Einheit eine andere ist.
Garantiert ein positives Gamma eine positive Anlagerendite?
Nein. Die Option hat einen Preis, andere Eingaben ändern sich, und Kosten sowie Zeit spielen eine Rolle. Gamma beschreibt Krümmung, nicht die Rentabilität einer Strategie.
Lernkontext
Wobei dieser Begriff hilft
Gamma zeigt, warum eine Optionsrisikomessung stärker richtungsabhängig werden kann, wenn sich der Basiswertpreis wichtigen Ausübungspreisen nähert.
Haftungshinweis
Nur zu Bildungszwecken
Dieser Artikel dient ausschließlich der Information und Bildung. Optionen sind mit Risiken verbunden und nicht für alle Anleger geeignet. Nichts hierin stellt eine Empfehlung dar, eine Option zu kaufen, zu verkaufen, als Stillhalter zu verkaufen oder zu handeln.
